Question

如圖，已知在空間四邊形ABCD中，AB=AC=DB=DC，E為BC的中點．
（Ⅰ）求證：平面ADE⊥平面ABC；
（Ⅱ）若AB=5，BC=6，AD=4，求幾何體ABCD的體積；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若G為△ABD的重心，試問在線段BC上是否存在點F，使GF∥平面ADE？若存在，請指出點F在BC上的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵AB=AC，E為BC中點，∴AE⊥BC，---（1分）
同理DE⊥BC，
又∵AE∩DE=E，AE、DE?平面ADE
∴BC⊥平面ADE，----（3分）
∵BC?平面ABC
∴平面ADE⊥平面ABC----（5分）
（Ⅱ）∵AB=5，∴AB=AC=DB=DC=5
∵BC=6，∴BE=3，Rt△ABE中，DE==4，同理AE=4，---（7分）
又∵AD=4，∴△ADE是邊長為4的等邊三角形，，
∵BC⊥平面ADE
∴四面體ABCD的體積V=．----（9分）
（Ⅲ）假設在BC上取一點F，使GF∥平面ADE．
記AD的中點為H，在BC上取一點F，使BF=2，則FE=1，…（11分）
連接GF、EH
∵G為△ABD的重心，H為AD中點
∴，∴GF∥HE；
又HE?平面ADE，GF?平面ADE，∴GF∥平面ADE，
故在BC上存在一點F，使BF=2，則有GF∥平面ADE…（13分）
分析：（I）由等腰三角形“三線合一”，可證出AE⊥BC且DE⊥BC，再用線面垂直的判定定理可證出BC⊥平面ADE，從而得到平面ADE⊥平面ABC；
（II）根據題意可算出△ADE是邊長為4的等邊三角形，再結合BC⊥平面ADE，即可算出幾何體ABCD的體積；
（III）記AD的中點為H，在BC上取一點F，使BF=2，連接GF、EH．根據三角形重心的性質得到線段成比例，從而GF∥EH，最后利用線面平行的判定得到GF∥平面ADE，
從而在BC上存在一點F，使GF∥平面ADE．
點評：本題給出一個特殊四面體，叫我們證明面面垂直并求四面體的體積，著重考查了空間平行、垂直位置關系的證明和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．