Question

【題目】設函數，其中為自然對數的底數.

（1）若曲線在軸上的截距為，且在點處的切線垂直于直線，求實數的值；

（2）記的導函數為， 在區間上的最小值為，求的最大值.

Answer 1

【答案】(1) 的值分別為1， ；(2) .

【解析】試題分析：(1)先利用曲線在軸上的截距為求得，再求導，利用導數的幾何意義進行求解；(2)連續求導，得到，再通過分類討論思想討論的取值，研究函數在區間的單調性和最小值，得到分段函數，則通過求導確定的最小值.

試題解析：（1）曲線在軸上的截距為，則過點，代入，

則，則，求導，

由，即，則，

∴實數的值分別為1， ；

（2）， ， ，

①當時，∵，∴恒成立，

即， 在上單調遞增，

∴.

②當時，∵，∴恒成立，

即， 在單調遞減，

∴.

③當時， ，得， 在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，

∴，

∴當時， ，

當時， ，求導， ，

由時， ，

∴單調通減， ，

當時， ，單調遞減， ，

∴的最大值.