Question

【題目】如圖所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=1，BC=，AA1=2，E是側棱BB1的中點．

（1）求證：A1E⊥平面AED；

（2）求二面角A﹣A1D﹣E的大小．

Answer 1

【答案】(1)見解析，(2)

【解析】試題分析：

（1）由題意建立空間直角坐標系，求得相關點的坐標后可得，從而得A1E⊥DA，A1E⊥AE，由線面垂直的判定定理可得結論成立．（2）求出兩平面的法向量，根據兩個法向量夾角的余弦值可求得二面角的大小．

試題解析：

（1）證明：∵ 在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，

∴兩兩垂直．

建立如圖所示空間直角坐標系．

則D（0，0，2），A（，0，2），E（，1，1），，C1（0，1，0），

∴ =（，0，0），=（0，1，﹣1），=（0，1，1），

∴，

∴ A1E⊥DA，A1E⊥AE，

又，

∴ A1E⊥平面AED．

（2）解：設平面A1DE的一個法向量為，

由 ，得，

令，得=（，﹣1，1）．

∵⊥平面AA1D，

∴平面AA1D的一個法向量為=（0，1，0），

∴，

由圖形得二面角A﹣A1D﹣E是銳角，

∴二面角A﹣A1D﹣E的大小為．