Question

設平面向量

a

=(

3

，-1)，

b

=(

1

2

，

3

2

)，若存在實數m（m≠0）和角θ，其中θ∈(-

π

2

，

π

2

)，使向量

c

=

a

+(tan2θ-3)

b

，

d

=-m

a

+

b

•tanθ，且

c

⊥

d

．
（1）求m=f（θ）的關系式；
（2）若θ∈[-

π

6

，

π

3

]，求f（θ）的最小值，并求出此時的θ值．

Answer 1

分析：（1）由

c

⊥

d

，且

a

•

b

=0，|

a

|=2，|

b

|=1，知

c

•

d

=-m

a

2+(tan3θ-3tanθ)

b

2=0，由此能求出m=f（θ）的關系式．
（2）設t=tanθ，由θ∈[-

π

6

，

π

3

]，知t∈[-

3

3

，

3

]，則m=g(t)=

1

4

(t3-3t)m′=g′(t)=

3

4

(t2-1)，由此能求出f（θ）的最小值，并能求出此時的θ值．

解答：解：（1）∵

c

⊥

d

，
且

a

•

b

=0，|

a

|=2，|

b

|=1，
∴

c

•

d

=-m

a

2+(tan3θ-3tanθ)

b

2=0
∴m=f(θ)=

1

4

(tan3θ-3tanθ)，θ∈(-

π

2

，

π

2

)
（2）設t=tanθ，
又∵θ∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴t∈[-

3

3

，

3

]，
則m=g(t)=

1

4

(t3-3t)m′=g′(t)=

3

4

(t2-1)，
令g'（t）=0得t=-1（舍去） t=1
∴t∈(-

3

3

，1)時，
g'（t）＜0，t∈(1，

3

)時，
g'（t）＞0，
∴t=1時，即θ=

π

4

時，
g（1）為極小值也是最小值，g（t）最小值為-

1

2

．

點評：本題考查平面向量的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意三角函數恒等變換的靈活運用．