Question

設f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c），f（1）=0，g（x）=ax+b．
（I）求證：函數f（x）與g（x）的圖象有兩個交點；
（Ⅱ）設函數f（x）與g（x）的圖象的兩個交點A、B在x軸上的射影為A₁、B₁，求|A₁B₁|的取值范圍．

Answer 1

（I）∵f（1）=0
∴a+b+c=0
∵a＞b＞c
∴a＞0，c＜0
由ax²+bx+c=ax+b得ax²+（b-a）x+c-b=0，
△=（b-a）²-4a（c-b）=（-a-c-a）²-4a（c+a+c）=c²-4ac
∵a＞0，c＜0
∴△＞0所以函數f（x）與g（x）的圖象有兩個交點．
（II）由已知方程ax²+（b-a）x+c-b=0，兩根為x₁，x₂，
x1+x2=

a-b

a

=2+

c

a

，x1x2=

c-b

a

=1+

2c

a

，
|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(2+ c a )2-4(1+2 c a )

=

( c a )2-4( c a )

=

( c a -2)2-4

由a+b+c=0，a＞b＞c得a＞0，c＜0，a＞-a-c＞c，
于是得到，-2＜

c

a

＜-

1

2

，
∴|x1-x2|∈(

3

2

，2

3

)
所以，|A₁B₁|的取值范圍(

3

2

，2

3

)．