Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）= ，a為常數(shù)，且a∈（0，1）．
（1）若x0滿足f（x0）=x0 ， 則稱x0為f（x）的一階周期點(diǎn)，證明函數(shù)f（x）有且只有兩個(gè)一階周期點(diǎn)；
（2）若x0滿足f（f（x0））=x0 ， 且f（x0）≠x0 ， 則稱x0為f（x）的二階周期點(diǎn)，當(dāng)a= 時(shí)，求函數(shù)f（x）的二階周期點(diǎn)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題可得，當(dāng)0≤x≤a時(shí)， ，因?yàn)閍∈（0，1），所以x=0；

當(dāng)a＜x≤1時(shí)， ，因?yàn)閍∈（0，1），所以x= ，

所以函數(shù)f（x）有且只有兩個(gè)一階周期點(diǎn)．

（2）解：當(dāng) 時(shí)，

所以

當(dāng) 時(shí)，由4x=x，解得x=0，

因?yàn)閒（0）=0，故x=0不是f（x）的二階周期點(diǎn)；

當(dāng) 時(shí)，由2﹣4x=x，解得 ，

因?yàn)? ，故 是f（x）的二階周期點(diǎn)；

當(dāng) 時(shí)，由4x﹣2=x，解得 ，

因?yàn)? ，故 不是f（x）的二階周期點(diǎn)；

當(dāng) 時(shí)，由4﹣4x=x，解得 ，

因?yàn)? ，故 是f（x）的二階周期點(diǎn)；

綜上，當(dāng) 時(shí)，函數(shù)f（x）的二階周期點(diǎn)為x1= ，x2= ．

【解析】（1）利用定義通過當(dāng)0≤x≤a時(shí)，當(dāng)a＜x≤1時(shí)，驗(yàn)證函數(shù)f（x）有且只有兩個(gè)一階周期點(diǎn)．（2）當(dāng) 時(shí)， ，推出 ，利用函數(shù)的定義域，通過分段求解即可．