Question

【題目】對于定義域為D的函數y=f（x），如果存在區間[m，n]D，同時滿足：

①f（x）在[m，n]內是單調函數；

②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]．則稱[m，n]是該函數的“和諧區間”．

（1）證明：[0，1]是函數y=f（x）=x2的一個“和諧區間”．

（2）求證：函數不存在“和諧區間”．

（3）已知：函數（a∈R，a≠0）有“和諧區間”[m，n]，當a變化時，求出n﹣m的最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據二次函數的性質,在區間上單調遞增,且值域也為滿足“和諧區間”的定義,即可得到結論；（2）該問題是一個確定性問題,從正面證明有一定的難度,故可采用反證法來進行證明；（3）設是已知函數定義域的子集,我們可以用表示出的取值,轉化為二次函數的最值問題后,根據二次函數的性質,可以得到答案.

試題解析：（1）y=x2在區間[0，1]上單調遞增．

又f（0）=0，f（1）=1，

值域為[0，1]，

區間[0，1]是y=f（x）=x2的一個“和諧區間”．

（2）設[m，n]是已知函數定義域的子集．

故函數在[m，n]上單調遞增．

若[m，n]是已知函數的“和諧區間”，則

故m、n是方程的同號的相異實數根．

x2﹣3x+5=0無實數根，

函數不存在“和諧區間”．

（3）設[m，n]是已知函數定義域的子集．

x≠0，

故函數在[m，n]上單調遞增．

若[m，n]是已知函數的“和諧區間”，則

故m、n是方程，即的同號的相異實數根．

，

m，n同號，只須，即a＞1或a＜﹣3時，

已知函數有“和諧區間”[m，n]，

當a=3時，n﹣m取最大值