Question

【題目】已知函數.

（1）若，求函數的單調區間；

（2）當時，試判斷函數的零點個數，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 見解析(2) 只有一個零點

【解析】

（1）求導，對a分類比較與3的大小，求得及的解集，即可求得g（x）的單調區間；

（2）由（1）可知，的單增區間為和，單減區間為

得到f(x)的極大值為f(1) <0,，極小值為f(3)<0，又, 得到在上只有一個零點.從而得到函數f（x）只有一個零點．

（1）

當 即，，

所以的單增區間為和，單減區間為，

當 即 ，或，

所以的單增區間為和，單減區間為，

當 ，，所以的單增區間為（0，）.

綜上所述：當0<a<時，所以的單增區間為和，單減區間為，

當 ，的單增區間為，

當時，所以的單增區間為和，單減區間為

（2）當時，，，所以由（1）可知，的單增區間為和，單減區間為

所以f(x)的極大值為f(1)=-1<0,，極小值為f(3)<0，

當時, 所以在上只有一個零點.

綜上，只有一個零點.