Question

【題目】已知，是雙曲線的左、右焦點，點P為上異于頂點的點，直線l分別與以，為直徑的圓相切于A，B兩點，若向量，的夾角為，則=___________.

Answer 1

【答案】

【解析】

首先將圖象畫出來，設以PF1，PF2為直徑的圓的圓心分別為C，D，連接AC，BD，過D作DE⊥AC于點E，連接CD，易證四邊形ABDE是矩形，根據幾何關系可得|CE|===5，由可得，又向量的夾角即為的夾角，從而.

如圖，設以PF1，PF2為直徑的圓的圓心分別為C，D，連接AC，BD，

過D作DE⊥AC于點E，連接CD，則，

因為直線AB是圓C和圓D的公切線，且切點分別是A，B，

所以AC⊥AB，BD⊥AB，則四邊形ABDE是矩形，所以|AB|=|DE|，|AE|=|BD|.

且，，易知|CE|=|AC|-|AE|=|AC|-|BD|=，

根據雙曲線的定義知，|PF1|-|PF2|=10，所以|CE|=5.

因為，由|可得，

即|AB|=3，因為向量的夾角即為的夾角，

所以.

故答案為：.