Question

【題目】已知函數f(x)＝ax3＋|x－a|，aR．

（1）若a＝－1，求函數y＝f(x) (x [0，＋∞))的圖象在x＝1處的切線方程；

（2）若g(x)＝x4，試討論方程f(x)＝g(x)的實數解的個數；

（3）當a＞0時，若對于任意的x1 [a，a＋2]，都存在x2 [a＋2，＋∞)，使得f(x1)f(x2)＝1024，求滿足條件的正整數a的取值的集合．

Answer 1

【答案】（1）2x＋y－3＝0．（2）當a≥1時，方程f(x)＝g(x)有兩個不同的解a，－1；當－1＜a＜1時，方程f(x)＝g(x)有三個不同的解a，－1，1；當a≤－1時，方程f(x)＝g(x)有兩個不同的解a，1．（3）{1}．

【解析】試題分析：（1）當a＝－1，x [0，＋∞)時，f(x)＝－x3＋x＋1，從而f ′(x)＝－3x2＋1．當x＝1時，f(1)＝1，f ′(1)＝－2，所以函數y＝f(x) (x [0，＋∞))的圖象在x＝1處的切線方程為y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0．（2）本題第一個難點在于化簡方程，提取公因式；第二個難點，在于討論三個條件關系. f(x)＝g(x)即為ax3＋|x－a|＝x4．所以x4－ax3＝|x－a|，從而x3(x－a)＝|x－a|．此方程等價于x＝a或或所以當a≥1時，方程f(x)＝g(x)有兩個不同的解a，－1；當－1＜a＜1時，方程f(x)＝g(x)有三個不同的解a，－1，1；當a≤－1時，方程f(x)＝g(x)有兩個不同的解a，1．（3）對條件的轉化是本題難點，本題從函數值域包含關系出發.易得函數f(x)在(a，＋∞)上是增函數， [ f(a＋2)，＋∞)．從而≥f(a＋2)．所以f2(a＋2)≤1024，即f(a＋2)≤32，也即a(a＋2)3＋2≤32．因為a＞0，顯然a＝1滿足，而a≥2時，均不滿足．所以滿足條件的正整數a的取值的集合為{1}．

試題解析：解：（1）當a＝－1，x [0，＋∞)時，f(x)＝－x3＋x＋1，從而f ′(x)＝－3x2＋1．

當x＝1時，f(1)＝1，f ′(1)＝－2，

所以函數y＝f(x) (x [0，＋∞))的圖象在x＝1處的切線方程為y－1＝－2(x－1)，

即2x＋y－3＝0． 3分

（2）f(x)＝g(x)即為ax3＋|x－a|＝x4．

所以x4－ax3＝|x－a|，從而x3(x－a)＝|x－a|．

此方程等價于x＝a或或6分

所以當a≥1時，方程f(x)＝g(x)有兩個不同的解a，－1；

當－1＜a＜1時，方程f(x)＝g(x)有三個不同的解a，－1，1；

當a≤－1時，方程f(x)＝g(x)有兩個不同的解a，1． 9分

（3）當a＞0，x (a，＋∞)時，f(x)＝ax3＋x－a，f ′(x)＝3ax2＋1＞0，

所以函數f(x)在(a，＋∞)上是增函數，且f(x)＞f(a)＝a4＞0．

所以當x [a，a＋2]時，f(x) [f(a)，f(a＋2)]， ，

當x [a＋2，＋∞)時，f(x) [ f(a＋2)，＋∞)． 11分

因為對任意的x1 [a，a＋2]，都存在x2 [a＋2，＋∞)，使得f(x1)f(x2)＝1024，

所以 [ f(a＋2)，＋∞)． 13分

從而≥f(a＋2)．

所以f2(a＋2)≤1024，即f(a＋2)≤32，也即a(a＋2)3＋2≤32．

因為a＞0，顯然a＝1滿足，而a≥2時，均不滿足．

所以滿足條件的正整數a的取值的集合為{1}． 16分