Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）四邊形的頂點(diǎn)在橢圓上，且對(duì)角線、過原點(diǎn)，若，求證；四邊形的面積為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）通過離心率，可得與的關(guān)系；再利用點(diǎn)，得到與的關(guān)系；通過方程組求得橢圓方程；（2）假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，通過根與系數(shù)關(guān)系可得和的關(guān)系；再結(jié)合橢圓的對(duì)稱性，將四邊形面積轉(zhuǎn)化為求解的面積。利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式，將表示出來，整理為定值，從而可證得四邊形面積為定值。

由題意，，又

解得：，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為

設(shè)，

又

②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為

設(shè)，

聯(lián)立，得

……①

，

，即，

又

整理可得：

設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，則

綜上所述，四邊形面積為定值