Question

【題目】已知橢圓的右焦點的坐標為，離心率．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設點、為橢圓上位于第一象限的兩個動點，滿足，為的中點，線段的垂直平分線分別交軸、軸于、兩點．

（ⅰ）求證：為的中點；

（ⅱ）若（為三角形的面積），求直線的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）由已知得，再由的值，求，即可求出橢圓的方程；

（Ⅱ）（ⅰ）設直線方程為，與橢圓方程聯立，設，，得出的坐標關系，求出點坐標，得到垂直平分線方程，求出點坐標，即可證明結論；

（ⅱ）由結合（ⅰ）的結論，求出點的坐標，再由，得到關系，代入點坐標，求出的值即可．

（Ⅰ）橢圓的右焦點的坐標為，

，又離心率，

橢圓的方程為；

（Ⅱ）（ⅰ）依題意，設直線方程為，

聯立，消去，得，

，

設，，則，

設中點，則，

，即點坐標為），

線段的垂直平分線方程為，

令，得，令，得，

，為中點；

（ⅱ）由（ⅰ）得為中點，

，

，

整理得，即，

又，

整理得，解得或（舍去），

，此時，

直線方程為.