Question

已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，其中正（主）視圖與側(cè)（左）視為直角三角形，俯視圖為正方形．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）若E是側(cè)棱PA上的動(dòng)點(diǎn)．問：不論點(diǎn)E在PA的任何位置上，是否都有BD⊥CE？請(qǐng)證明你的結(jié)論？
（3）求二面角D-PA-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，結(jié)合三視圖的特征直接求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）若E是側(cè)棱PA上的動(dòng)點(diǎn)．不論點(diǎn)E在PA的任何位置上，都有BD⊥CE，說明BD⊥平面PAC，都有CE?平面PAC，即可．
（3）在平面DAP過點(diǎn)D作DF⊥PA于F，連接BF．說明∠DFB為二面角D-AP-B的平面角，在△DFB中，求二面角D-PA-B的余弦值．
解答：解：（1）由三視圖可知，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，
側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC=2
∴S_{正方形ABCD}•PC=．（4分）

（2）不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE（5分）
證明：連接AC，∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC∵PC⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，∴BD⊥PC．（6分）
又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC（7分）
∵不論點(diǎn)E在何位置，都有CE?平面PAC．
∵不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥CE．（9分）

（3）在平面DAP過點(diǎn)D作DF⊥PA于F，
連接BF∵，AD=AB=1，
∴Rt△ADP≌Rt△ABP∴∠PAD=∠PAB，
又AF=AF，AB=AD
從而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AP．∴∠DFB為二面角D-AP-B的平面角（12分）
在Rt△ACP中，
故在Rt△ADP中，．
又，在△DFB中，
由余弦定理得：．
所以二面角D-PA-B的余弦值為．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查幾何體的三視圖，幾何體的體積的求法，準(zhǔn)確判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵，同時(shí)注意：空間想象能力，邏輯思維能力的培養(yǎng)．