Question

已知橢圓C的方程為

x2

9-k

+

y2

k-1

=1．
（1）求k的取值范圍；         
（2）若橢圓C的離心率e=

6 7

，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根據題意，方程

x2

9-k

+

y2

k-1

=1表示橢圓，則 x²，y²項的系數均為正數且不相等列出不等關系，解可得答案．
（2）先根據題意利用k表示出a，b，進而根據離心率列出關于k的方程，則k的值可得．

解答：解：（1）∵方程

x2

9-k

+

y2

k-1

=1表示橢圓，
則 

9-k＞0 k-1＞0 9-k≠k-1

，
解得 k∈（1，5）∪（5，9）
（2）①當9-k＞k-1時，依題意可知a=

9-k

，b=

k-1

∴c=

10-2k

∵

c

a

=

6 7

∴

10-2k

9-k

=

6

7

∴k=2；
②當9-k＜k-1時，依題意可知b=

9-k

，a=

k-1

∴c=

2k-10

∵

c

a

=

6 7

∴

2k-10

k-1

=

6

7

∴k=8；
∴k的值為2或8．

點評：本題考查橢圓的標準方程、橢圓的簡單性質，注意其標準方程的形式與圓、雙曲線的標準方程的異同，考查運算能力，屬基礎題．