Question

如圖，三棱柱中，平面，，, 點在線段上，且，．

（Ⅰ）求證：直線與平面不平行；
（Ⅱ）設平面與平面所成的銳二面角為，若，求的長；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設平面平面，求直線與所成的角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）見解析  （Ⅱ）　．（Ⅲ）直線與所成的角的余弦值為．

(I)本小題易用空間向量法解決，易求出平面ABC的法向量，然后證明向量DE與平面ABC的法向量的數量積不等于零即可.
（2）先求出平面的一個法向量，然后，可以求出此直棱柱的高.
(3)先找出平面平面與平面的交線．在平面內，分別延長，交于點，連結，則直線為平面與平面的交線.
然后求出的坐標，再根據,求出直線與所成的角的余弦值.
依題意，可建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則
．2分

（Ⅰ）證明：由平面可知為平面的一個法向量．
∴　．∴　直線與平面不平行．   4分
（Ⅱ）設平面的法向量為，則，
取，則，故．6分
∴，7分解得．∴　．
（Ⅲ）在平面內，分別延長，交于點，連結，則直線為平面與平面的交線．∵　，，∴　．∴　，
∴　．········ 11分
由（Ⅱ）知，，故，
∴　．∴　直線與所成的角的余弦值為