Question

【題目】已知以橢圓的焦點和短軸端點為頂點的四邊形恰好是面積為4的正方形.

(1)求橢圓的方程：

(2)若是橢圓上的動點,求的取值范圍；

(3)直線：與橢圓交于異于橢圓頂點的,兩點,為坐標原點,直線與橢圓的另一個交點為點,直線和直線的斜率之積為1,直線與軸交于點.若直線,的斜率分別為,試判斷,是否為定值,若是,求出該定值；若不是,說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ； (3)是定值,為0.

【解析】

(1)由題意可知：,解這個方程組即可；

(2)把橢圓的方程化為參數方程,根據輔助角公式可以求出的取值范圍；

(3)直線方程與橢圓的標準方程聯立,利用根與系數關系,可以判斷出為定值.

(1)因為以橢圓的焦點和短軸端點為頂點的四邊形恰好是面積為4的正方形.所以有,解得,所以橢圓的方程為：

(2)橢圓橢圓的參數方程為：(為參數且).

因為是橢圓上的動點,

所以,其中.

.

(3)設,則,.直線：與橢圓的方程聯立為：消去得

,由根與系數關系可得：

直線的方程為：,令,因為,所以.

。

.