Question

【題目】如圖，已知等邊的邊長為4,，分別為邊的中點，為的中點，為邊上一點，且，將沿折到的位置，使平面平面.

（1）求證：平面平面；

（2）設，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）首先根據已知條件可證出，再由面面垂直的性質定理并結合平面平面可得出平面，然后再由和可證得，再在正中易證得平面，最后由面面垂直的判定定理即可得出所證的結論；

（2）首先由（1）可知，平面，即為三棱錐底面上的高，然后結合已知可得出，，，進而可得，最后由三棱錐的體積計算公式即可得出所求的結果.

試題解析：（1）因為，為等邊的，邊的中點，

所以是等邊三角形，且.因為是的中點，所以.

又由于平面平面，平面，所以平面.

又平面，所以.因為，所以，所以.

在正中知，所以.而，所以平面.

又因為平面，所以平面平面.

（2）由（1）知，平面，所以為三棱錐底面上的高．

根據正三角形的邊長為4，知是邊長為2的等邊三角形，所以．

易知，．

又由（1）知，所以，

所以，

所以．