Question

已知函數f（x）=

1

3

x³+ax²+bx，且f′（-1）=0．
（1）試用含a的代數式表示b，并求f（x）的單調區間；
（2）令a=-1，設函數f（x）在x₁，x₂（x₁＜x₂）處取得極值，記點M （x₁，f（x₁）），N（x₂，f（x₂）），P（m，f（m）），x₁＜m＜x₂，請仔細觀察曲線f（x）在點P處的切線與線段MP的位置變化趨勢，并解釋以下問題：
（Ⅰ）若對任意的t∈（x₁，x₂），線段MP與曲線f（x）均有異于M，P的公共點，試確定t的最小值，并證明你的結論；
（Ⅱ）若存在點Q（n，f（n）），x≤n＜m，使得線段PQ與曲線f（x）有異于P、Q的公共點，請直接寫出m的取值范圍（不必給出求解過程）．

Answer 1

分析：（1）欲求：“f（x）的單調區間”，對于三次函數而言，利用導數解決，本題還得對字母a進行討論；
（2）存在性問題，結合觀察f（x）的圖象，幫助分析問題．

解答：解：（1）依題意，得f′（x）=x²+2ax+b，
由f′（-1）=1-2a+b=0得b=2a-1
從而f（x）=

1

3

x³+ax²+（2a-1）x，
故f′（x）=（x+1）（x+2a-1）
令f′（x）=0，得x=-1或x=1-2a
①當a＞1時，1-2a＜-1
當x變化時，根據f′（x）與f（x）的變化情況得，
函數f（x）的單調增區間為（-∞，1-2a）和（-1，+∞），單調減區間為（1-2a，-1）
②當a=1時，1-2a=-1，此時有f′（x）≥0恒成立，且僅在x=-1處f′（x）=0，故函數f（x）的單調增區間為R、
③當a＜1時，1-2a＞-1，同理可得，函數f（x）的單調增區間為（-∞，-1）和（1-2a，+∞），
單調減區間為（-1，1-2a）
綜上：當a＞1時，函數f（x）的單調增區間為（-∞，1-2a）和（-1，+∞），單調減區間為（1-2a，-1）；
當a=1時，函數f（x）的單調增區間為R；
當a＜1時，函數f（x）的單調增區間為（-∞，-1）和（1-2a，+∞），單調減區間為（-1，1-2a）
（2）（Ⅰ）由a=-1得f（x）=

1

3

x³-x²-3x
令f′（x）=x²-2x-3=0得x₁=-1，x₂=3
由（1）得f（x）增區間為（-∞，-1）和（3，+∞），單調減區間為（-1，3），
所以函數f（x）在處x₁=-1，x₂=3處取得極值，故M（-1，

5

3

），N（3，-9）
觀察f（x）的圖象，有如下現象：

①當m從-1（不含-1）變化到3時，線段MP的斜率與曲線f（x）在點P處切線的斜率f（x）之差Kmp-f′（m）的值由正連續變為負、
②線段MP與曲線是否有異于H，P的公共點與Kmp-f′（m）的m正負有著密切的關聯；
③Kmp-f′（m）=0對應的位置可能是臨界點，故推測：滿足Kmp-f′（m）的m就是所求的t最小值，下面給出證明并確定的t最小值、曲線f（x）在點P（m，f（m））處的切線斜率f′（m）=m²-2m-3；
線段MP的斜率Kmp=

m2-4m-5

3

，
當Kmp-f′（m）=0時，解得m=-1或m=2，
直線MP的方程為y=（

m2-4m-5

3

x+

m2- 4m

3

），
令g（x）=f（x）-（

m2-4m-5

3

x+

m2- 4m

3

），
當m=2時，g′（x）=x²-2x在（-1，2）上只有一個零點x=0，可判斷f（x）函數在（-1，0）上單調遞增，在（0，2）上單調遞減，又g（-1）=g（2）=0，所以g（x）在（-1，2）上沒有零點，即線段MP與曲線f（x）沒有異于M，P的公共點、
當m∈（2，3]時，g（0）=-

m2-4m

3

＞0，
g（2）=-（m-2）²＜0，
所以存在δ∈（0，2]使得g（δ）=0，
即當m∈（2，3]時，MP與曲線f（x）有異于M，P的公共點
綜上，t的最小值為2．
（Ⅱ）類似（1）于中的觀察，可得m的取值范圍為（1，3]．

點評：本題綜合考查了函數導數的綜合應用，本題是函數的綜合題，綜合考查了利用導數求函數的單調區間，求函數的極值，以及存在性問題，有一定的難度，是一道很好的壓軸題．