Question

已知向量u＝(x，y)與向量v＝(y,2y－x)的對應關系記作v＝f(u)．

(1)求證：對于任意向量a，b及常數m，n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)；

(2)若a＝(1,1)，b＝(1,0)，用坐標表示f(a)和f(b)；

(3)求使f(c)＝(p，q)(p，q為常數)的向量c的坐標．

Answer 1

解：(1)證明：設a＝(x₁，y₁)，b＝(x₂，y₂)，

則ma＋nb＝(mx₁＋nx₂，my₁＋ny₂)，

∴f(ma＋nb)＝(my₁＋ny_2,2(my₁＋ny₂)－(mx₁＋nx₂))．

而mf(a)＋nf(b)＝m(y_1,2y₁－x₁)＋n(y_2,2y₂－x₂)＝(my_1,2my₁－mx₁)＋(ny_2,2ny₂－nx₂)＝(my₁＋ny₂，(2my₁－mx₁)＋(2ny₂－nx₂))＝(my₁＋ny_2,2(my₁＋ny₂)－(mx₁＋nx₂))．

∴f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)．

(2)f(a)＝(1,2－1)＝(1,1)，f(b)＝(0,0－1)＝(0，－1)．

(3)設c＝(x，y)，則f(c)＝(y,2y－x)，

令 解得

∴c＝(2p－q，p)．