Question

（05年上海卷）（16分）

已知拋物線的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4、且位于軸上方的點，A到拋物線準線的距離等于5.過A作AB垂直于軸，垂足為B，OB的中點為M.

（1）求拋物線方程；

（2）過M作，垂足為N，求點N的坐標；

（3）以M為圓心，MB為半徑作圓M，當是軸上一動點時，討論直線AK與圓M的位置關系.

Answer 1

解析：(1) 拋物線y²=2px的準線為x=-,于是4+=5, ∴p=2.

   ∴拋物線方程為y²=4x.

   (2)∵點A是坐標是(4,4), 由題意得B(0,4),M(0,2),

   又∵F(1,0), ∴k_FA=;MN⊥FA, ∴k_MN=-,

   則FA的方程為y=(x-1),MN的方程為y-2=-x,解方程組得x=,y=,

   ∴N的坐標(,).

(1)    由題意得, ,圓M.的圓心是點(0,2), 半徑為2,

當m=4時, 直線AK的方程為x=4,此時,直線AK與圓M相離.

當m≠4時, 直線AK的方程為y=(x-m),即為4x-(4-m)y-4m=0,

圓心M(0,2)到直線AK的距離d=,令d>2,解得m>1

∴當m>1時, AK與圓M相離;

  當m=1時, AK與圓M相切;

  當m<1時, AK與圓M相交.