Question

定義：如果數列{a_n}的任意連續三項均能構成一個三角形的三邊長，則稱{a_n}為“三角形”數列．對于“三角形”數列{a_n}，如果函數y=f（x）使得b_n=f（a_n）仍為一個“三角形”數列，則稱y=f（x）是數列{a_n}的“保三角形函數”（n∈N*）．
（Ⅰ）已知{a_n}是首項為2，公差為1的等差數列，若f（x）=k^x（k＞1）是數列{a_n}的“保三角形函數”，求k的取值范圍；
（Ⅱ）已知數列{c_n}的首項為2013，S_n是數列{c_n}的前n項和，且滿足4S_n+1-3S_n=8052，證明{c_n}是“三角形”數列；
（Ⅲ）若g（x）=lgx是（Ⅱ）中數列{c_n}的“保三角形函數”，問數列{c_n}最多有多少項？
（解題中可用以下數據：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg2013≈3.304）

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定{a_n}是三角形數列，再利用函數的單調性，可得不等式，即可求k的取值范圍；
（Ⅱ）求得數列{c_n}的通項，再利用定義進行證明即可；
（Ⅲ）確定{g（c_n）}單調遞減，利用定義可得不等式lg2013+(n-1)lg(

3

4

)＞0且lgc_n-1+lgc_n＞lgc_n-2，由此可得n的范圍，從而可得結論．

解答：（Ⅰ）解：顯然a_n=n+1，a_n+a_n+1＞a_n+2對任意正整數都成立，即{a_n}是三角形數列．
因為k＞1，顯然有f（a_n）＜f（a_n+1）＜f（a_n+2）＜…，
由f（a_n）+f（a_n+1）＞f（a_n+2）得kⁿ+kⁿ⁺¹＞kⁿ⁺²
解得

1- 5

2

＜k＜

1+ 5

2

．
所以當k∈(1，

1+ 5

2

)時，f（x）=k^x是數列{a_n}的保三角形函數．…（3分）
（Ⅱ）證明：由4s_n+1-3s_n=8052，得4s_n-3s_n-1=8052，
兩式相減得4c_n+1-3c_n=0，所以cn=2013(

3

4

)n-1…（5分）
經檢驗，此通項公式滿足4s_n+1-3s_n=8052．
顯然c_n＞c_n+1＞c_n+2，
因為cn+1+cn+2=2013(

3

4

)n+2013(

3

4

)n+1=

21

16

•2013(

3

4

)n-1＞cn，
所以{c_n}是三角形數列．…（8分）
（Ⅲ）解：g(cn)=lg[2013(

3

4

)n-1]=lg2013+(n-1)lg(

3

4

)，
所以{g（c_n）}單調遞減．
由題意知，lg2013+(n-1)lg(

3

4

)＞0①且lgc_n-1+lgc_n＞lgc_n-2②，
由①得(n-1)lg

3

4

＞-lg2013，解得n＜27.4，
由②得nlg

3

4

＞-lg2013，解得n＜26.4．
即數列{b_n}最多有26項．…（13分）

點評：本題考查新定義，考查函數的單調性，考查解不等式，考查學生分析解決問題的能力，正確理解新定義是關鍵．