Question

如圖，一塊礦石晶體的形狀為四棱柱，底面ABCD是正方形，CC₁=3，CD=2，且∠C₁CB=∠C₁CD=60°．
（1）設，試用表示；
（2）O為四棱柱的中心，求CO的長；
（3）求證：A₁C⊥BD．

Answer 1

解：（1）由，得．
所以，．
（2）O為四棱柱的中心，即O為線段A₁C的中點．
由已知條件，得，，，，．
根據向量加減法得，.
=2²+2²+3²+0+2×3×2×cos60°+2×3×2×cos60°=29．
∴A₁C的長為．
所以．
（3）∵
=2²+2×3×cos60°-2²-2×3×cos60°=0，
∴CA₁⊥BD．
分析：（1）利用空間向量的加法，可得平行六面體的體對角線，可得，再利用與互為相反向量，就可求出．
（2）因為O為四棱柱的中心，所以O為線段A₁C的中點，所以要求CO的長，只需求出A₁C的長即可．利用（1）中所求
，再求模即可．
（3）要證A₁C⊥BD，只需證明=0，即可，根據，，也即是證明=0，再用已知計算即可．
點評：本題考查了用空間向量判斷幾何中的位置關系．注意和平面向量知識相聯系．