Question

【題目】已知sinα+cosα= ，α∈（0， ），sin（β﹣ ）= ，β∈（ ， ）．
（1）求sin2α和tan2α的值；
（2）求cos（α+2β）的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得（sinα+cosα）2= ，

即1+sin2α= ，∴sin2α= ．

又2α∈（0， ），∴cos2α= = ，∴tan2α= =

（2）解：∵β∈（ ， ），β﹣ ∈（0， ），∴cos（β﹣ ）= ，

于是sin2（β﹣ ）=2sin（β﹣ ）cos（β﹣ ）= ．

又sin2（β﹣ ）=﹣cos2β，∴cos2β=﹣ ．

又2β∈（ ，π），∴sin2β= ．

又cos2α= = ，

∴cosα= ，sinα= （α∈（0， ））．

∴cos（α+2β）=cosαcos2β﹣sinαsin2β

= ×（﹣ ）﹣ × =﹣

【解析】（1）把已知條件兩邊平方，然后利用同角三角函數間的關系及二倍角的正弦函數公式化簡可得sin2α的值，根據2α的范圍利用同角三角函數間的關系求出cos2α即可得到tan2α的值；（2）根據β的范圍求出 的范圍，由sin（ ）的值利用同角三角函數間的關系求出cos（ ）的值，然后利用二倍角的正弦函數公式及同角三角函數間的關系分別求出sin2β和cos2β的值，根據第一問分別求出sinα和cosα的值，把所求的式子利用兩角和的余弦函數公式化簡后，將每個三角函數值代入即可求出．