Question

（本小題滿分13分）
在數(shù)列
（I）若是公比為β的等比數(shù)列，求α和β的值。
（II）若，基于事實：如果d是a和b的公約數(shù)，那么d一定是a-b的約數(shù)。研討是否存在正整數(shù)k和n，使得有大于1的公約數(shù)，如果存在求出k和n，如果不存在請說明理由。

Answer 1

（1）或…
（2）故不存在使與有大于1的公約數(shù).

（I）是公比的的等比數(shù)列

…………2分
即
又
………………4分
、是方程的兩根
或…………6分
（II）假設(shè)存在正整數(shù)，使得與有大于1的公約數(shù)，
則也是即的約數(shù)
依題設(shè)，
是的約數(shù)…………8分
從而是與的公約數(shù)
同理可得是的約數(shù)依次類推，是與的約數(shù)……10分
，故
于是       ………………12分
又∵
是的約數(shù)和的約數(shù)
是即的約數(shù)
從而是即1的約數(shù)，這與矛盾
故不存在使與有大于1的公約數(shù).