Question

已知點，曲線上的動點滿足,定點，由曲線外一點向曲線引切線，切點為，且滿足.

（1）求線段長的最小值；
（2）若以為圓心所作的圓與曲線有公共點，試求半徑取最小值時圓的標準方程.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：本題主要考查圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、向量的點乘、平面內兩點間距離公式等基礎知識.考查數形結合的數學思想.考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.第一問，利用向量的點乘求出點的軌跡方程，數形結合找出，所以，然后配方法求最值；第二問，利用兩圓的位置關系列出不等式，用配方法求最值，得到圓心和半徑，寫出圓的標準方程.
試題解析：（Ⅰ）設，則，
∴，
即點軌跡(曲線)方程為，即曲線是．     2分
連∵為切點，，由勾股定理有：．
又由已知，故．
即：，
化簡得實數間滿足的等量關系為：，即．（4分）
∴＝，
故當時，即線段長的最小值為     7分
（另法）由點在直線：上．
∴，即求點到直線的距離．
∴（7分）
（Ⅱ）設的半徑為，∵與有公共點，的半徑為1，
即且．    8分
而，       9分
故當時，．      10分
此時,．    11分
得半徑取最小值時的標準方程為．    13分
（另法）與有公共點，半徑最小時為與外切（取小者）的情形，而這些半徑的最小值為圓心到直線的距離減去1，圓心為過原點與垂直的直線與的交點．
．
又，（10分）
解方程組，得．即，
∴所求標準方程為．（13分）