Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線C1： （φ為參數，實數a＞0），曲線C2： （φ為參數，實數b＞0）．在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤ ）與C1交于O、A兩點，與C2交于O、B兩點．當α=0時，|OA|=1；當α= 時，|OB|=2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求2|OA|2+|OA||OB|的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由曲線C1： （φ為參數，實數a＞0）， 化為普通方程為（x﹣a）2+y2=a2 ， 展開為：x2+y2﹣2ax=0，
其極坐標方程為ρ2=2aρcosθ，即ρ=2acosθ，由題意可得當θ=0時，|OA|=ρ=1，∴a= ．
曲線C2： （φ為參數，實數b＞0），
化為普通方程為x2+（y﹣b）2=b2 ， 展開可得極坐標方程為ρ=2bsinθ，
由題意可得當 時，|OB|=ρ=2，∴b=1．
（Ⅱ）由（I）可得C1 ， C2的方程分別為ρ=cosθ，ρ=2sinθ．
∴2|OA|2+|OA||OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1= +1，
∵2θ+ ∈ ，∴ +1的最大值為 +1，
當2θ+ = 時，θ= 時取到最大值
【解析】（I）由曲線C1： （φ為參數，實數a＞0），利用cos2φ+sin2φ=1即可化為普通方程，再利用極坐標與直角坐標互化公式即可得出極坐標方程，進而得出a的值．同理可得b的值．（II）由（I）可得C1 ， C2的方程分別為ρ=cosθ，ρ=2sinθ．可得2|OA|2+|OA||OB|=2cos2θ+2sinθcosθ= +1，利用三角函數的單調性與值域即可得出．