Question

已知函數(shù)f（x）的圖象在[a，b]上連續(xù)不斷，定義：f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），其中，min{f（x）|x∈D}表示函數(shù)f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函數(shù)f（x）在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）對(duì)任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f（x）為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f（x）=x²，（x∈[-1，4]）為[-1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的取值是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）=x²在x∈[-1，4]上的值域，先寫出f₁（x）、f₂（x）的解析式，再由f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）求出k的范圍得到答案．

解答：解：f1(x)=

x2，x∈[-1，0) 0，x∈[0，4]

，f2(x)=

1，x∈[-1，1) x2，x∈[1，4]

f2(x)-f1(x)=

1-x2，x∈[-1，0) 1，x∈[0，1) x2，x∈[1，4]

當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，1-x²≤k（x+1），∴k≥1-x，k≥2；
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，1≤k（x+1），∴k≥

1

x+1

，∴k≥1；
當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，x²≤k（x+1），
∴k≥

x2

x+1

，
∴k≥

16

5

．
綜上所述，∴k≥

16

5

故答案為：k≥

16

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查學(xué)生的對(duì)新問題的接受、分析和解決的能力．要求學(xué)生要有很扎實(shí)的基本功才能作對(duì)這類問題．