Question

【題目】已知函數 .

（1）當時，求函數的極值；

（2）當時，討論函數的單調性．

Answer 1

【答案】（1）f（x）的極小值為4，無極大值．（2）當a＜﹣2時f（x），的遞減區間為（0，﹣）和（，+∞），遞增區間為（﹣，）；當a=﹣2時，f（x）在（0，+∞）單調遞減；當﹣2＜a＜0時，f（x）的遞減區間為（0，）和（﹣，+∞），遞增區間為（，﹣）．

【解析】

(1)當時，求出函數的導數，由求方程的根，判斷所求根兩邊導函數的符號即可得到函數的極值；(2) 求出，分三種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間.

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（1）依題意知f（x）的定義域為（0，+∞），

當a=2時，， ，

令f′（x）=0，解得x= ，

當0＜x＜時，f′（x）＜0；

當x≥時，f′（x）＞0

又∵f（）=2+2=4

∴f（x）的極小值為4，無極大值．

（2）

當a＜﹣2時，﹣＜，

令f′（x）＜0 得 0＜x＜﹣或x＞，

令f′（x）＞0 得﹣＜x＜；

當﹣2＜a＜0時，得﹣＞，

令f′（x）＜0 得 0＜x＜或x＞﹣，

令f′（x）＞0 得 ＜x＜﹣ ；

當a=﹣2時，，

綜上所述，當a＜﹣2時f（x）的遞減區間為（0，﹣）和（，+∞），遞增區間為（﹣，）；

當a=﹣2時，f（x）在（0，+∞）單調遞減；

當﹣2＜a＜0時，f（x）的遞減區間為（0，）和（﹣，+∞），遞增區間為（，﹣）．