Question

已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為y軸，且準線方程為直線l過M（1，0）與拋物線交于A，B兩點，點P在y軸的右側且滿足（O為坐標原點）．
（Ⅰ）求拋物線的方程及動點P的軌跡方程；
（Ⅱ）記動點P的軌跡為C，若曲線C的切線斜率為λ，滿足，點A到y軸的距離為a，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）待定系數法求出拋物線方程，點斜式設出直線l的方程并與拋物線方程聯立方程組，得到直線l與物線交于A，B兩點的坐標間的關系，由得到點P的坐標與直線斜率k的關系，消去k得到動點P的軌跡方程．
（Ⅱ）先求出曲線C的切線斜率λ的范圍，又，用λ表示a，由斜率λ的范圍得出a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由題意知拋物線的方程為
∴p=1，拋物線的方程為x²=2y．（2分）
直線l的斜率不存在時，
直線l與拋物線交于一點，不符合題意．（3分）
于是設直線l的方程為y=k（x-1）．
聯立
設兩交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則△=4k²-8k＞0⇒k＞2或k＜0，（4分）
∴x₁+x₂=2k，x₁x₂=2k．（5分）
設
∵，
∴
消去k得y=x²-x．（7分）
又∵P點在y軸的右側∴x＞0，
又∵x=k，k＞2或k＜0，∴x＞2．（8分）
∴動點P的軌跡方程為y=x²-x，（x＞0）；
（Ⅱ）∵曲線C的方程為y=x²-x，（x＞2）
∴切線斜率λ=y=2x-1（x＞2）．（9分）
∴λ＞3．（10分）
∵，
又
∴
∴λx₁²-2λx₁+λ-1=0．
解得（12分）
∴（13分）
∴a的取值范圍是：（14分）
點評：本題考查拋物線方程、軌跡方程的求法，以及向量運算．