【題目】已知動圓M過點
且與直線
相切.
（1）求動圓圓心M的軌跡C的方程；
（2）斜率為
的直線l經過點且與曲線C交于A，B兩點，線段AB的中垂線交x軸于點N，求
的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）已知條件轉化成圓心M到定點
的距離與定直線
的距離相等，再利用拋物線的定義求得圓心M的軌跡C的方程；
（2）設直線l的方程為
，
，
，把直線方程代入拋物線方程，利用根與系數的關系，得到
的中點坐標，進而得到線段的中垂線方程，令
得到點
的坐標，把弦長
和線段
都用
表示，再進行比值即可得答案.
（1）由已知可得，點M到點的距離等于點M到直線
的距離，所以點M的軌跡是拋物線.
點P為拋物線的焦點，直線即為拋物線的準線.
設拋物線C的方程為
，所以
，所以
，
故動圓圓心M的軌跡C的方程為.
（2）由已知可得直線l的方程為，記，.
由
消去y整理可得
.
由根與系數關系可得
，所以
.
所以AB的中點坐標為
.
所以線段AB的中垂線方程為
.
令，可得
，所以
.
所以
.
又由拋物線的定義可知
.
所以
.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校開展“我身邊的榜樣”評選活動，現對3名候選人甲、乙、丙進行不記名投票，投票要求詳見選票．這3名候選人的得票數（不考慮是否有效）分別為總票數的88%，75%，46%，則本次投票的有效率（有效票數與總票數的比值）最高可能為百分之________．
“我身邊的榜樣”評選選票 | ||
候選人 | 符號 | 注： 1．同意畫“○”，不同意畫“×”． 2．每張選票“○”的個數不超過2時才為有效票． |
甲 | ||
乙 | ||
丙 | ||
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于非負整數集合
（非空），若對任意
，或者
，或者
，則稱為一個好集合．以下記
為的元素個數．
（1）給出所有的元素均小于
的好集合．（給出結論即可）
（2）求出所有滿足
的好集合．（同時說明理由）
（3）若好集合滿足
，求證：中存在元素
，使得中所有元素均為的整數倍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為調研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯考中，參考的文科生與理科生人數之比為
，且成績分布在
的范圍內，規定分數在50以上（含50）的作文被評為“優秀作文”，按文理科用分層抽樣的方法抽取400人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖，如圖所示.其中
構成以2為公比的等比數列.
（1）求的值；
（2）填寫下面
列聯表，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下認為“獲得優秀作文”與“學生的文理科”有關？
文科生 | 理科生 | 合計 | |
獲獎 | 6 | ||
不獲獎 | |||
合計 | 400 |
（3）將上述調查所得的頻率視為概率，現從全市參考學生中，任意抽取2名學生，記“獲得優秀作文”的學生人數為
，求的分布列及數學期望.
附：
，其中
.
| .15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，∠BAD＝60°，AB=PA＝4，E是PA的中點，AC，BD交于點O.
（1）求證：OE∥平面PBC；
（2）求三棱錐E﹣PBD的體積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在考察疫情防控工作中，某區衛生防控中心提出了“要堅持開展愛國衛生運動，從人居環境改善、飲食習慣、社會心理健康、公共衛生設施等多個方面開展，特別是要堅決杜絕食用野生動物的陋習，提倡文明健康、綠色環保的生活方式”的要求.某小組通過問卷調查，隨機收集了該區居民六類日常生活習慣的有關數據.六類習慣是：（1）衛生習慣狀況類；（2）垃圾處理狀況類；（3）體育鍛煉狀況類；（4）心理健康狀況類；（5）膳食合理狀況類；（6）作息規律狀況類.經過數據整理，得到下表：
衛生習慣狀況類 | 垃圾處理狀況類 | 體育鍛煉狀況類 | 心理健康狀況類 | 膳食合理狀況類 | 作息規律狀況類 | |
有效答卷份數 | 380 | 550 | 330 | 410 | 400 | 430 |
習慣良好頻率 | 0.6 | 0.9 | 0.8 | 0.7 | 0.65 | 0.6 |
假設每份調查問卷只調查上述六類狀況之一，各類調查是否達到良好標準相互獨立.
（1）從小組收集的有效答卷中隨機選取1份，求這份試卷的調查結果是膳食合理狀況類中習慣良好者的概率；
（2）從該區任選一位居民，試估計他在“衛生習慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習慣方面，至少具備兩類良好習慣的概率；
（3）利用上述六類習慣調查的排序，用“
”表示任選一位第k類受訪者是習慣良好者，“
”表示任選一位第k類受訪者不是習慣良好者（
）.寫出方差
，
，
，
，
，
的大小關系.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市環保部門對該市市民進行了一次垃圾分類知識的網絡問卷調查，每位市民僅有一次參加機會，通過隨機抽樣，得到參與問卷調查的100人的得分（滿分：100分）數據，統計結果如表所示：
組別 |
|
|
|
|
|
|
男 | 2 | 3 | 5 | 15 | 18 | 12 |
女 | 0 | 5 | 10 | 10 | 7 | 13 |
(1)若規定問卷得分不低于70分的市民稱為“環保關注者”，請完成答題卡中的
列聯表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下，認為是否為“環保關注者”與性別有關？
(2)若問卷得分不低于80分的人稱為“環保達人”．視頻率為概率．
①在我市所有“環保達人”中，隨機抽取3人，求抽取的3人中，既有男“環保達人”又有女“環保達人”的概率；
②為了鼓勵市民關注環保，針對此次的調查制定了如下獎勵方案：“環保達人”獲得兩次抽獎活動；其他參與的市民獲得一次抽獎活動．每次抽獎獲得紅包的金額和對應的概率.如下表：
紅包金額（單位：元） | 10 | 20 |
概率 |
|
|
現某市民要參加此次問卷調查，記
（單位：元）為該市民參加間卷調查獲得的紅包金額，求的分布列及數學期望．
附表及公式：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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