Question

【題目】某科技創新公司在第一年年初購買了一臺價值昂貴的設備，該設備的第1年的維護費支出為20萬元，從第2年到第6年，每年的維修費增加4萬元，從第7年開始，每年維修費為上一年的125%．

（1）求第n年該設備的維修費的表達式；

（2）設，若萬元，則該設備繼續使用，否則須在第n年對設備更新，求在第幾年必須對該設備進行更新？

Answer 1

【答案】(1) (2) 第9年

【解析】

（1）將數列分為兩部分，分別利用等差數列和等比數列公式得到答案.

（2）當時，恒成立，當時，，判斷是遞增數列，計算,得到答案.

（1）當時，數列是首項為20，公差為4的等差數列，

；

當時，數列是首項為，公比為的等比數列，又

所以.

因此第n年該設備的維修費的表達式因此為

(2)設數列的前項和為，由等差及等比的求和公式得：

當時，，

此時恒成立，即該設備繼續使用；

當時， ，

此時

因為，即

所以是遞增數列，又,

故在第9年必須對該設備進行更新.