Question

定義區間（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的長度均為n-m，其中n＞m．
（1）求關于x的不等式4^x-2^x+3+7＜0的解集構成的區間的長度；
（2）若關于x的不等式2ax²-12x-3＞0的解集構成的區間的長度為

6

，求實數a的值；
（3）已知關于x的不等式sinxcosx+

3

cos2x+b＞0，x∈[0，π]的解集構成的各區間的長度和超過

π

3

，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接求解不等式得到x的取值集合，則答案可求；
（2）由關于x的不等式2ax²-12x-3＞0的解集構成的區間的長度為

6

，得到二次不等式對應方程的兩個根的差的絕對值，平方后代入根與系數關系可求解a的值；
（3）把三角不等式的左側化簡，然后得到一個簡單的三角不等式，由一個周期內的區間長度為

π

3

可得b的取值范圍．

解答：解：（1）由4^x-2^x+3+7＜0，得（2^x）²-8•2^x+7＜0，解得1＜2^x＜7，所以0＜x＜log₂7．
所以不等式4^x-2^x+3+7＜0的解集構成的區間的長度為log₂7；
（2）關于x的不等式2ax²-12x-3＞0的解集構成的區間的長度為

6

，
得x2-x1=

6

，即(x1+x2)2-4x1x2=6，所以(

6

a

)2-4(-

3

2a

)=6
解得a=-2或a=3（舍）
∴關于x的不等式2ax²-12x-3＞0的解集構成的區間的長度為

6

的實數a的值為-2；
（3）因為sinxcosx+

3

cos2x+b=sin(2x+

π

3

)+

3

2

+b，
設f（x）=sin(2x+

π

3

)，
原不等式等價于“f（x）＞-

3

2

-b，x∈[0，π]”，
因為函數f（x）的最小正周期為π，[0，π]的長度恰為函數的一個正周期，
所以當-

3

2

-b＜

1

2

時，f（x）＞-

3

2

-b，x∈[0，π]的解集構成的各區間的長度和超過

π

3

，
即b的取值范圍為（-

1+ 3

2

，+∞）．

點評：本題主要考查不等式的解法．其中第一、二問涉及到一元二次不等式的解法，一元二次不等式的解集由開口方向和對應方程的根二者決定．開口向上大于0的解集在兩根的兩邊，小于0的解集在兩根中間；開口向下大于0的解集在兩根的中間，小于0的解集在兩根兩邊，是中檔題．