Question

【題目】在如圖所示的多面體中， 平面， ．

（1）在上求作點，使平面，請寫出作法并說明理由；

（2）求三棱錐的高．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）.

【解析】試題分析：（1）由題意,因此只需,就可推出平面，而延長線與交點恰為的中點因此作法為先取的中點，再連結，交于.證法為先由線線平行證得線面平行，再由線面平行證得面面平行，最后由面面平行證得線面平行.（2）求三棱錐的高，可由等體積法求得：因為，而平面，所以，這樣只需求出兩個三角形面積，代入化簡即得三棱錐的高.

試題分析：解：（1）取的中點，連結，交于，連結.此時為所求作的點.

下面給出證明：

∵，∴，又，∴四邊形是平行四邊形，

故即.

又平面平面，∴平面；

∵平面， 平面，∴平面.

又∵平面平面，

∴平面平面，

又∵平面，∴平面.

（2）在等腰梯形中，∵，

∴可求得梯形的高為，從而的面積為.

∵平面，∴是三棱錐的高.

設三棱錐的高為.

由，可得，

即，解得，

故三棱錐的高為.