Question

已知等差數列數﹛a_n﹜的前n項和為S_n，等比數列﹛b_n﹜的各項均為正數，公比是q，且滿足：a₁=3，b₁=1，b₂+S₂=12，S₂=b₂q．
（Ⅰ）求a_n與b_n；
（Ⅱ）設cn=3bn-λ•2

an

3

（λ∈R），若﹛c_n﹜滿足：c_n+1＞c_n對任意的n∈N°恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題目給出的已知條件b₂+S₂=12，S₂=b₂q，列關于等差數列的第二項及等比數列的公比的二元方程組，求出等差數列的第二項及等比數列的公比，則a_n與b_n可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a_n與b_n代入cn=3bn-λ•2

an

3

（λ∈R），整理后把c_n+1＞c_n轉化為含有λ和n的表達式，分離參數后利用函數的單調性求函數的最小值，從而求出λ的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由S₂=a₁+a₂=3+a₂，b₂=b₁q=q，且b₂+S₂=12，S₂=b₂q．
∴

q+3+a2=12 3+a2=q2

，消去a₂得：q²+q-12=0，解得q=3或q=-4（舍），
∴a2=q2-3=32-3=6，則d=a₂-a₁=6-3=3，
從而a_n=a₁+（n-1）d=3+3（n-1）=3n，
bn=b1qn-1=3n-1；
（Ⅱ）∵a_n=3n，bn=3n-1，∴cn=3bn-λ•2

an

3

=3n-λ2n．
∵c_n+1＞c_n對任意的n∈N^*恒成立，即：3ⁿ⁺¹-λ•3ⁿ⁺¹＞3ⁿ-λ•2ⁿ恒成立，
整理得：λ•2ⁿ＜2•3ⁿ對任意的n∈N^*恒成立，
即：λ＜2•(

3

2

)n對任意的n∈N^*恒成立．
∵y=2•(

3

2

)x在區間[1，+∞）上單調遞增，∴ymin=2•

3

2

=3，
∴λ＜3．
∴λ的取值范圍為（-∞，3）．

點評：本題考查了等差數列與等比數列的通項公式，考查了利用分離變量法求參數的范圍問題，借助于函數單調性求函數的最小值是解答此題的關鍵，此題是中檔題．