Question

如圖，一棱長為2的正四面體O-ABC的頂點O在平面α內，底面ABC平行于平面α，平面OBC與平面α的交線為l．
（1）當平面OBC繞l順時針旋轉與平面α第一次重合時，求平面OBC轉過角的正弦
值．
（2）在上述旋轉過程中，△OBC在平面α上的投影為等腰△OB₁C₁（如圖1），B₁C₁的中點為O₁．當AO⊥平面α時，問在線段OA上是否存在一點P，使O₁P⊥OBC？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求平面OBC轉過角，即求平面OBC與平面α所成的角度，可轉化為求平面ABC與平面COB所成的角；在四面體中，取BC中點為E，連接AE，EO，則BC⊥AE，BC⊥EO，∠AEO即為所求的轉動角；根據AE=EO=，AO=2，即可求出∠AEO
（2）法一：設A在平面OBC上射影為G，若O₁P⊥平面OBC，則O₁P∥AG，設O₁P交OE于H，則由OH：OO₁=OO₁：OE，可求得OH=OG
故H與G重合時，O₁P⊥平面OBC．
法二：以O₁為原點，分別以O₁C₁、O₁O、O₁E所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設
則由可求z，H與G重合時，O₁P⊥平面OBC．
解答：解：（1）∵平面ABC∥平面α
平面ABC∩平面COB=BC
取BC中點為E，連接AE，EO，則BC⊥AE，BC⊥EO．
故∠AEO即為所求的轉動角
在正四面體中，AE=EO=，AO=2，
所以：COS∠AEO==．
∴sin∠EOF=．
故所求轉過角的正弦值為
（2）解法一：在Rt△OBB₁中，OB=2BB₁，
故BB₁=O₁E=1，，．設A在平面OBC上射影為G，
若O₁P⊥平面OBC，則O₁P∥AG，
設O₁P交OE于H，OH：OO₁=OO₁：OE，
得，又，
故H與G重合時，O₁P⊥平面OBC．
解法二：以O₁為原點，分別以O₁C₁、O₁O、O₁E所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則，C（1，0，1），B（-1，0，1），，
設
則，，
得z=2．…（13分）
故H與G重合時，O₁P⊥平面OBC．
點評：本題主要考查了二面角得平面角得求解，直線與平面垂直的性質定理得應用，要注意向量法在解題中應用．