Question

P是平面ABCD外的點，四邊形ABCD是平行四邊形，=（2，-1，-4），=（4，2，0），=（-1，2，-1）．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）對于向量=（x₁，y₁z₁），，定義一種運算：，試計算的絕對值；說明其與幾何體P-ABCD的體積關系，并由此猜想向量這種運算的絕對值的幾何意義．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明與平面ABCD內的兩個不共線的向量垂直，即證明與此平面內的兩個不共線的向量的數量積等于0．
（2）根據體題中定義的運算法則，化簡  的結果，發現此值正好等于以AB，AD，AP為棱的平行六面體的體積．
解答：解：（1），∴，即AP⊥AB．，即PA⊥AD．
∴PA⊥面ABCD．
（2），又，
V=
猜測：在幾何上可表示以AB，AD，AP為棱的平行六面體的體積（或以AB，AD，AP為棱的四棱柱的體積）．
點評：本題考查直線和平面垂直的方法，以及利用題中的新定義的運算法則計算的結果，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．