Question

【題目】設M為滿足下列條件的函數構成的集合，存在實數，使得.

（1）判斷是否為M中的元素，并說明理由；

（2）設，求實數a的取值范圍；

（3）已知的圖象與的圖象交于點，,證明：是中的元素，并求出此時的值（用表示）.

Answer 1

【答案】（1）是；（2）[3﹣，3+]；（3）x0＝，證明見解析

【解析】

根據集合M的定義，可根據函數的解析式f（x0+1）＝f（x0）+f（1）構造方程，若方程有根，說明函數符合集合M的定義，若方程無根，說明函數不符合集合M的定義；

（2）設h（x）＝∈M，則存在實數x，使h（x+1）＝h（x）+h（1）成立，解出a的取值范圍即可；

（3）利用f（x0+1）＝f（x0）+f（1）和y＝2ex（x＞）的圖象與y＝為圖象有交點，即對應方程有根，與求出的值進行比較即可解出x0．

解：（1）設g（x）為M中的元素，則存在實數x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）；

即（x+1）2＝x2+1，∴x＝0，

故g（x）＝x2是M中的元素．

（2）設h（x）＝∈M，則存在實數x，使h（x+1）＝h（x）+h（1）成立；

即lg＝lg+lg；

∴＝；∴（a﹣2）x2+2ax+2a﹣2＝0，

當a＝2時，x＝﹣；

當a≠2時，則△＝4a2﹣4（a﹣2）（2a﹣2）≥0；

解得a2﹣6a+4≤0，∴3﹣≤a≤3+且a≠2；

∴實數a的取值范圍為：[3﹣，3+]．

（3）設m（x）＝ln（3x﹣1）﹣x2∈M，則m（x0+1）＝m（x0）+m（1）；

∴ln[3（x0+1）﹣1]﹣（x0+1）2＝ln（3x0﹣1）﹣x02+ln2﹣1；

∴ln＝2x0；

∴＝；∴＝2；

由于y＝2ex（x＞）的圖象與y＝為圖象交于點（t，2et），

所以2et＝；

令t＝2x0，則2＝＝；

即存在x0＝，使得則m（x0+1）＝m（x0）+m（1）；

故m（x）＝ln（3x﹣1）﹣x2是M中的元素，此時x0＝．