Question

如圖，直角坐標系中，一直角三角形，，B、D在軸上且關于原點對稱，在邊上，BD=3DC，△ABC的周長為12．若一雙曲線以B、C為焦點，且經過A、D兩點．

⑴ 求雙曲線的方程；
⑵ 若一過點（為非零常數）的直線與雙曲線相交于不同于雙曲線頂點的兩點、，且，問在軸上是否存在定點，使？若存在，求出所有這樣定點的坐標；若不存在，請說明理由

Answer 1

(1)  (2)在軸上存在定點，使．

試題分析：(1) 設雙曲線的方程為，則．
由，得，即．
∴      3分
解之得，∴．
∴雙曲線的方程為． 5分
(2) 設在軸上存在定點，使．
設直線的方程為，．
由，得．
即         ①  6分
∵，，
∴．
即． ②  8分
把①代入②，得  ③  9分
把代入并整理得
其中且，即且．
．   10分
代入③，得，化簡得 ．當時，上式恒成立．
因此，在軸上存在定點，使．  13分
點評：難題，曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題（1）求雙曲線方程時，應用了雙曲線的定義及其幾何性質，難度不大，較為典型。（2）則在應用韋達定理的基礎上，通過平面向量的坐標運算，達到證明目的。