Question

根據向量數乘的定義，可以證明向量數乘有如下運算律：
（1）

 

；（2）

 

；（3）

 

．

Answer 1

分析：證明等式成立，把兩邊看成兩個向量，先證模相等，再證明方向也相同．

解答：解：（1）λ（μ

a

）=（λμ）

a

，（2）（λ+μ）

a

=λ

a

+μ

a

，（3）λ （

a

+

b

）=λ

a

+μ

b

．
證明：（1）若λ=0 或μ=0，或

a

=

0

，等式顯然成立．若λμ≠0，

a

≠

0

，
|λ（μ

a

）|=|λ||μ

a

|=|λ||μ||

a

|，|（λμ）

a

|=|λμ||

a

|=|λ||μ||

a

|，
即|λ（μ

a

）|=|（λμ）

a

|．若λ、μ同號，則等式兩邊都與

a

同向，若λ、μ異號，則等式兩邊都與

a

反向，
故 λ（μ

a

）與（λμ）

a

的模相同，方向相同，故這兩個向量相等．
（2）若λ=0 或μ=0，或

a

=

0

，等式顯然成立．若λμ≠0，

a

≠

0

，若λ和μ同號，
|（λ+μ）

a

|=|λ+μ||

a

|=（|λ|+|μ|）|

a

|，|λ

a

+μ

a

|=|λ

a

|+|μ

a

|=（|λ|+|μ|）|

a

|，
即|（λ+μ）

a

|=|λ

a

+μ

a

|，等式兩邊都與

a

同向，或都與

a

反向，故等式成立．
若λ和μ異號，當λ＞μ時，等式兩邊都與λ

a

同向，當λ＜μ時，等式兩邊都與λ

a

反向，
還可證明|（λ+μ）

a

|=|λ

a

+μ

a

|，故等式一定成立．
（3）當

a

，

b

中有一個等于零時，或λ=0或1時，等式顯然成立．
當

a

，

b

都不等于0且λ≠1，λ≠0，
當λ＞0且λ≠1時，如圖所示，設

OA

=

a

，

AB

=

b

，

OA1

=λ

a

，

A1B1

=λ

b

，
則

OB

=

a

+

b

，

OB1

=λ

a

+λ

b

，由作法知 

AB

∥

A1B1

，∴|

A1B1

|=λ|

AB

|，
∴|

OB1

|=λ|

OB

|，且

OB1

 與

OB

方向也相同，故有

OB1

=λ 

OB

，λ （

a

+

b

）=λ

a

+μ

b

 成立．
當λ＜0時，同理可證．
綜上，λ （

a

+

b

）=λ

a

+μ

b

 成立．
故答案為 λ（μ

a

）=（λμ）

a

、（λ+μ）

a

=λ

a

+μ

a

、λ （

a

+

b

）=λ

a

+μ

b

．

點評：本題考查向量的數乘的定義及幾何意義，體現了數形結合的數學思想．