Question

在平面直角坐標系xOy中，已知圓x²+y²-12x+32=0的圓心為Q，過點P（0，2）且斜率為k的直線l與圓Q相交于不同的兩點A，B．
（Ⅰ）求圓Q的面積；
（Ⅱ）求k的取值范圍；
（Ⅲ）是否存在常數k，使得向量

OA

+

OB

與

PQ

共線？如果存在，求k的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把圓的方程化為標準形式，求出半徑，即可求得圓的面積．
（Ⅱ）把直線方程代入圓的方程化為關于x 的一元二次方程，由判別式大于0求得k的取值范圍．
（Ⅲ） 設出A，B的坐標，用條件向量

OA

+

OB

與

PQ

共線可得解得k=-

3

4

，由（Ⅱ）知k∈(-

3

4

，0)，故沒有
符合題意的常數k．

解答：解：（Ⅰ）圓的方程可化為（x-6）²+y²=4，可得圓心為Q（6，0），半徑為2，故圓的面積為4π．
（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+2，將直線方程代入圓方程得x²+（kx+2）²-12x+32=0，
整理得（1+k²）x²+4（k-3）x+36=0．　①
直線與圓交于兩個不同的點A，B等價于△=[4（k-3）]²-4×36（1+k²）=4²（-8k²-6k）＞0，
解得-

3

4

＜k＜0，即k的取值范圍為(-

3

4

  ，0)．
（Ⅲ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

OA

+

OB

=(x1+x2，y1+y2)，由方程①得，
x1+x2=-

4(k-3)

1+k2

②，又y₁+y₂=k（x₁+x₂）+4 ③，而P(0，2)，Q(6，0)，

PQ

=(6，-2)．
所以，

OA

+

OB

與

PQ

共線等價于-2（x₁+x₂）=6（y₁+y₂），將②③代入上式，解得k=-

3

4

．
由（Ⅱ）知k∈(-

3

4

，0)，故沒有符合題意的常數k．

點評：本題考查直線和圓相交的性質，以及向量在幾何中的應用，如何應用條件向量

OA

+

OB

與

PQ

共線，是解決問題的關鍵．