Question

某市電信寬帶私人用戶月收費標準如下表：

方案	類        別	基本費用	超時費用
甲	包月制	70元
乙	有限包月制（限60小時）	50元	0.05元/分鐘（無上限）
丙	有限包月制（限30小時）	30元	0.05元/分鐘（無上限）

假定每月初可以和電信部門約定上網方案．
（Ⅰ）若某用戶每月上網時間為66小時，應選擇

乙

方案最合算；
（Ⅱ）王先生因工作需要在家上網，所在公司預測其一年內每月的上網時間T（小時）與月份n的函數關系為T=f(n)=

3n+237

4

 (1≤n≤12， n∈N)．若公司能報銷王先生全年上網費用，問公司最少會為此花費多少元？
（Ⅲ）一年后，因公司業務變化，王先生每月的上網時間T（小時）與月份n的函數關系為T=g(n)=10(

3

5

)n+30，  n∈N*．假設王先生退休前一直從事此項業務，公司在花費盡量少的前提下，除為其報銷每月的基本費用外，對于所有的超時費用，公司考慮一次性給予補貼a元，試確定最合理的a的值，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據表格中的數據，我們分別計算出用戶每月上網時間為66小時時，三種方案的費用，比較后即可得到答案．
（II）根據表中三種方案的收費標準，我們可以計算出在不同時間長度時，選擇交費方案的最佳方式，結合已知中公司預測其一年內每月的上網時間T（小時）與月份n的函數關系為T=f(n)=

3n+237

4

 (1≤n≤12， n∈N)，我們易計算出各份的最佳方案，累加即可得到公司最少會為此花費多少元？
（Ⅲ）由已知中王先生每月的上網時間T（小時）與月份n的函數關系為T=g(n)=10(

3

5

)n+30，  n∈N*．我們可根據表中交費方式，得到選擇丙方案合算，進而計算出所有的超時費用，進而得到一次性給予補貼a元的值．

解答：（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ） 某用戶每月上網時間為66小時時
男方案需要費用：70元；
乙方案需要費用：68元；
丙方案需要費用：138元；
故選乙方案最合算
故答案為：乙．…（2分）
（Ⅱ）當T≤30時，選擇丙方案合算；
當T＞30時，由30+3（T-30）≤50，得30＜T≤36

2

3

，此時選擇丙方案合算；
當36

2

3

≤T≤60時，選擇乙方案合算；
當T＞60時，由60+3（T-30）≤70，得60＜T≤66

2

3

，此時選擇乙方案合算；
當T≥66

2

3

時，選擇甲方案合算．
綜上可得：當T∈(0， 36

2

3

]，選擇丙方案合算；…（3分）
當T∈[36

2

3

， 66

2

3

]時，選擇乙方案合算；…（4分）
當T∈[66

2

3

， +∞)時，選擇甲方案合算．…（5分）
∵f(n+1)-f(n)=

3

4

，∴{f（n）}是首項為f（1）=60，公差為d=

3

4

的等差數列，且每月上網時間逐月遞增．
令T=

3n+237

4

≥66

2

3

，得n≥9

8

9

．
∴前9個月選擇乙方案，最后3個月選擇甲方案上網花費最少．…（7分）
此時，一年的上網總費用為

9

n=1

[50+3(

3n+237

4

-60)]+3×70=450+

9

n=1

9

4

(n-1)+210=450+81+210=741．
答：一年內公司最少會為王先生花費上網費741元．…（9分）
（Ⅲ）由T=g(n)=10×(

3

5

)n+30  (n∈N*)知，g（1）=36，g（n）＞30，且{g（n）}是遞減數列，
∴選擇丙方案合算．…（10分）
若上網n個月，王先生的超時總費用為

n

k

3[g(n)-30]=

n

k

30(

3

5

)n=45[1-(

3

5

)n]．…（13分）
答：公司考慮一次性給予補貼a元，最合理的a的值為45元．…（14分）

點評：本題考查的知識點是函數模型的選擇與應用，無窮等比數列的前n項和，是函數模型的簡單應用，難度適中．