Question

已知矩形紙片ABCD中，AB=6cm，AD=12cm，將矩形紙片的右下角折起，使得該角的頂點B落在矩形的邊AD上，且折痕MN的端點M，N分別位于邊AB，BC上，設∠MNB=θ，sinθ=t，MN長度為l．
（1）試將l表示為t的函數l=f（t）；
（2）求l的最小值．

Answer 1

分析：（1）將一個圖形折起，注意其中變與不變的量，表示出要用的量，根據兩條線段的長度之和，寫出關于l的方程，表示出結果，得到函數式．
（2）對函數式求導，根據換元時的自變量的值，使得導函數等于0，解出自變量的值，根據函數的單調性求出函數的最小值．

解答：解：（1）設將矩形紙片的右下角折起后，頂點B落在邊AD上的B′處，則∠B′NM=θ，∠B′MA=2θ
從而有：NB=lcosθ，MB=MB′=lsinθ，AM=MB′cos2θ=lsinθcos2θ．
∵AM+MB=6，∴lsinθcos2θ+lsinθ=6，
得：l=

6

sinθ•(cos2θ+1)

=

3

sinθ•(1-sin2θ)

=

3

t-t3

，即f（t）=

3

t-t3

（2）由圖知，當M點在A時，θ取到最大值

π

4

，當N點與C重合時，θ取到最小值

π

12

，則

π

12

≤θ≤

π

4

，
又sinθ=t，則

6 - 2

4

≤t≤

2

2

，
設u=t-t³，u'=1-3t²，令u'=0，得t=

3

3

當

6 - 2

4

＜t＜

3

3

時，u'＞0，當

3

3

＜t＜

2

2

時，u'＜0，
所以當t=

3

3

時，u取到最大值：

3

3

-

1

3

•

3

3

=

2 3

9

l的最小值為

3

2 3 9

=

9 3

2

cm

點評：本題考查已知三角函數模型的應用問題，解答本題的關鍵是建立起符合條件的模型，作出正確的示意圖，然后再由三角形中的相關知識進行運算，解三角形的應用一般是求距離注意應用三角形的邊與角．