Question

過雙曲線2x²-y²=1上一點A（1，1）作兩條動弦AB，AC，且直線AB，AC的斜率的乘積為3．
（1）問直線BC是否可與坐標軸垂直？若可與坐標軸垂直，求直線BC的方程，若不與坐標軸垂直，試說明理由．
（2）證明直線BC過定點．

Answer 1

（1）令B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
當BC與x軸垂直時，有x₁=x₂，y₁=-y₂，
故：3=

y1-1

x1-1

•

-y1-1

x1-1

=

1- y 21

(x1-1)2

=

2(1- x 21 )

(1-x1)2

=

2(1+x1)

1-x1

∴x₁=

1

5

，與|x₁|≥

2

2

矛盾，因此BC不與x軸垂直..（3分）
當BC與y軸垂直時，有x₁=-x₂，y₁=y₂，
故：3=

y1-1

x1-1

•

y1-1

-x1-1

=

(1-y1 ) 2

1- x 21

=

2(1-y1)2

1- y 21

=

2(1-y1)

1+y1

∴y₁=-

1

5

，因此BC可與y軸垂直，此時BC的方程為y=-

1

5

．（5分）
（2）證明：當BC不與坐標軸垂直時，k_AB•k_AC=

y1-1

x1-1

•

y2-1

x2-1

=3，
故3（x₁-1）（x₂-1）=（y₁-1）（y₂-1）．…①…（6分）
令BC：y=kx+b，代入雙曲線方程有：2x²-（kx+b）²=1?（2-k²）x²-2kbx-b²-1=0．…②
x₁，x₂是方程②的兩個實根．令f（x）=（2-k²）x²-2kbx-b²-1，
則（x₁-1）（x₂-1）=

f(1)

2-k2

=

2-k2-2kb-b2-1

2-k2

．③…..（8分）
直線方程又可寫成：x=

y-b

k

，代入2x²-y²=1，有：2（y-b）²-k²y²=k²，整理得：（2-k²）y²-4by+2b²-k²=0．…④
y₁，y₂是方程④的兩個實根．
令g（y）=（2-k²）y²-4by+2b²-k²．
（y₁-1）（y₂-1）=

g(1)

2-k2

=

2-2k2-4b+2b2

2-k2

．…⑤…（10分）   
③，⑤兩式代入①式，有：

3(1-k2-2kb-b2)

2-k2

=

2-2k2-4b+2b2

2-k2

，
故3[1-（k+b）²]=2[（b-1）²-k²]，
從而：3（1-k-b）（1+k+b）=2（b-1-k）（b-1+k）．…⑥
因為點A（1，1）不在直線y=kx+b上，故k+b≠1．
利用⑥，可知：3 （1+k+b）+2（b-1-k）=0，
即k+5b+1=0，所以-

1

5

=k•

1

5

+b． 
因此直線BC過定點M(

1

5

，-

1

5

)，直線y=-

1

5

也過定點M．
綜上所述，直線BC恒過定點M(

1

5

，-

1

5

)．…（14分）