Question

已知⊙C過點P（1，1），且與⊙M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）關于直線x+y+2=0對稱．
（Ⅰ）求⊙C的方程；
（Ⅱ）設Q為⊙C上的一個動點，求的最小值；
（Ⅲ）過點P作兩條相異直線分別與⊙C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補，O為坐標原點，試判斷直線OP和AB是否平行？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設圓心的坐標，利用對稱的特征：①點與對稱點連線的中點在對稱軸上；②點與對稱點連線的斜率與對稱軸的斜率之積等于
-1，求出圓心坐標，又⊙C過點P（1，1），可得半徑，從而寫出⊙C方程．
（Ⅱ）設Q的坐標，用坐標表示兩個向量的數量積，化簡后再進行三角代換，可得其最小值．
（Ⅲ）設出直線PA和直線PB的方程，將它們分別與⊙C的方程聯立方程組，并化為關于x的一元二次方程，由x=1一定是該方程的解，可求得A，B的橫坐標（用k表示的），化簡直線AB的斜率，將此斜率與直線OP的斜率作對比，得出結論．
解答：解：（Ⅰ）設圓心C（a，b），則，解得（3分）
則圓C的方程為x²+y²=r²，將點P的坐標代入得r²=2，
故圓C的方程為x²+y²=2（5分）
（Ⅱ）設Q（x，y），則x²+y²=2，（7分）
=x²+y²+x+y-4=x+y-2，令x=cosθ，y=sinθ，
∴=cosθ+sinθ-2=2sin（θ+）-2，∴（θ+）=2kπ-時，2sin（θ+）=-2，
所以的最小值為-2-2=-4． （10分）
（Ⅲ）由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數，
故可設PA：y-1=k（x-1），PB：y-1=-k（x-1），由，
得（1+k²）x²+2k（1-k）x+（1-k）²-2=0（11分）
因為點P的橫坐標x=1一定是該方程的解，故可得（13分）
同理，，所以=k_OP ，
所以，直線AB和OP一定平行（15分）
點評：本題考查圓的標準方程的求法，兩個向量的數量積公式的應用，直線與圓的位置關系的應用．