Question

【題目】已知函數f（x）=ax2+2ax+1，a≠0． （Ⅰ） 當a=1時，解不等式f（x）＞4；
（Ⅱ） 若函數f（x）在區間（1，2）上恰有一個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）a=1時，f（x）=x2+2x+1，

由f（x）＞4，即（x+1）2＞4，解得：x＞1或x＜﹣3，

故不等式的解集是（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）；

（Ⅱ）f（x）=ax2+2ax+1=a（x+1）2+1﹣a，

函數的對稱軸是x=﹣1，故f（x）在（1，2）單調，

若函數f（x）在區間（1，2）上恰有一個零點，

則f（1）f（2）＜0，即（3a+1）（8a+1）＜0，

解得：﹣ ＜a＜﹣

【解析】（Ⅰ）將a的值代入，解不等式即可；（Ⅱ）求出函數的對稱軸，根據函數的單調性以及零點的個數單調f（1）f（2）＜0，解出即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．