Question

【題目】—根不可伸長的細輕繩，穿上一粒質量為m的珠子（視為質點），繩的下端固定在A點，上端系在輕質小環(huán)上，小環(huán)可沿固定的水平細桿滑動（小環(huán)的質量及與細桿摩擦皆可忽略不計）。細桿與A在同一豎直平面內。開始時，珠子緊靠小環(huán)，繩被拉直，如圖所示。已知：繩長為L，A點到桿的距離為h，繩能承受的最大張力為，珠子下滑過程中到達最低點前繩子被拉斷。求細繩被拉直時珠子的位置和速度的大小（珠子與繩子之間無摩擦）。

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）珠子運動的軌跡

建立如圖丙所示的坐標系，原點在過點的豎直線與細桿相交處，軸沿細桿向右，軸沿向下. 當珠子運動到點且繩子未斷時，小環(huán)在處，垂直于軸，所以珠子的坐標為

，.

由知，即有，得

. ①

這是一個以軸為對稱軸，頂點位于處，焦點與頂點的距離為的拋物線，如圖丙所示，圖中的，為焦點.

（2）珠子在點的運動方程

因為忽略繩子的質量，所以可把與珠子接觸的那一小段繩子看作是珠子的一部分，則珠子受的力有三個，一是重力；另外兩個是兩繩子對珠子的拉力，它們分別沿和方向，這兩個拉力大小相等，皆用表示，則它們的舍力的大小為

， ②

為點兩邊繩子之間夾角的一半，沿的角平分線方向.

因為是焦點至的連線，平行于軸，根據(jù)解析幾何所述的拋物線性質可知，點的法線是的角平分線. 故合力的方向與點的法線一致.

由以上的論證，再根據(jù)牛頓運動定律和題中的注，珠子在點的運動方程（沿法線方向）應為

，

即.③

式中是點處軌道曲線的曲率半徑；為珠子在處時速度的大小. 根據(jù)機械能守恒定律可得

.④

（3）.求曲率半徑

當繩子斷裂時，，由③式可見，如果我們能另想其他辦法求得曲率半徑與的關系，則就可能由③④兩式求得繩子斷裂時珠子的縱坐標. 現(xiàn)提出如下一種辦法．做一條與小珠軌跡對于軸呈對稱狀態(tài)的拋物線，如圖丁所示. 由此很容易想到這是一個從高處平拋物體的軌跡. 平拋運動是我們熟悉的，我們不僅知道其軌跡是拋物線，而且知道其受力情況及詳細的運動學方程，這樣我們可不必通過軌道方程而是運用力學原理分析其運動過程，即可求出與對稱的點處拋物線的曲率半徑與的關系，也就是處拋物線的曲率半徑與的關系.

設從拋出至落地的時間為，則有.

由此解得

.⑤

設物體在處的速度為，由機械能守恒定律可得

.⑥

物體在處法線方向的運動方程為

⑦

式中即為處拋物線的曲率半徑，從⑤⑥⑦式及，可求得.

這也等于點拋物線的曲率半徑，，故得

⑧

4.求繩被拉斷時小珠的位置和速度的大小

把④⑧式代入③式，可求得繩子的張力為

.⑨

當時，繩子被拉斷，設此時珠子位置的坐標為，由⑨式得.

代入①式，得.

繩子斷開時，珠子速度的大小為.