Question

【題目】迫擊炮和目標位于同一水平面上，它們之間有高為h的小山，迫擊炮到山的水平距離為a，目標到山的水平距離為b。試求為擊毀目標，炮彈必須具有的最小初速度以及發射角。

Answer 1

【答案】如果，則，；如果，則， 。

【解析】

先討論沒有山的情況下所有通過目標的軌道。如圖所示，在圖上標出與炮彈最小初速度相對應的軌道，大家知道這條軌道對應發射角。不難確定，位于這條軌道上方或下方的其他軌道所對應的初速度都要大于這個最小初速度。因此，如果山位于這條軌道的下方，那么上述解答是符合實際的，也就是這條軌道滿足題意。如果山高出這條軌道，那么上述所求的軌道要越過山的頂部，我們必須重新來求出新的軌道，本題的問題就在于此。

現在我們來作定量的討論。

選擇坐標系：迫擊炮位于坐標的原點，x軸為水平線，y軸為豎直線。炮彈的坐標與時間的關系表述如下：

，

。

從這兩個方程中消去t，得到地彈的軌道方程

。 ①

要使這些軌道通過目標，為此令當時。

。 ②

從②式得出式，再代入①式中，得到通過目標的軌道方程

。 ③

取為從0到范圍內的不同值，得到如圖所示的一切軌道，而當時得到標出的軌道。 ④

現在闡述，在什么條件下這條軌道從山的上方通過，為此求當軌道上這點的高度。

。

由此可見，如果山高，則所求的軌道由④式確定，而與它對應的初速度只要方程②中令即可，由此得。

這是初速度與最大的水平射程之間的一般關系式。

如果山高于標出的軌道：，就得重新確定所求的軌道。在此情況下需要求通過山頂的軌道，即令：

當時③式中。

。

由此。

將值代入公式③，得出所求的軌道方程。

注意，為了回答題目提出的問題，這個方程并不是我們最終的要求，但是，它卻提供了進一步研究問題的可能性：炮彈通過哪些點飛向目標？

為了找到與這條軌道相應的初速度，需要將的值代入方程②中，得。

綜上所述，作出解答：

如果，則，；

如果，則，

。