Question

【題目】已知函數，其中常數.

（1）當時，求函數的單調遞增區間；

（2）當時，若函數有三個不同的零點，求的取值范圍；

（3）設定義在上的函數在點處的切線方程為，當時，若在內恒成立，則稱為函數的“類對稱點”，請你探究當時，函數是否存在“類對稱點”，若存在，請最少求出一個“類對稱點”的橫坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 和；(2) ；(3)答案見解析.

【解析】試題分析：（1）由f′(x)="2x-(a+2)+" ==

，能求出當a＞2時，求函數f（x）的單調遞增區間．

（2）a=4，f′（x）=2x+-6，故f′(x)="2x+"-6≥4-6，不存在6x+y+m=0這類直線的切線．

（3）y=g(x)=(2x0+-6)(x-x0)+ -6x0+4lnx0，令h（x）=f（x）-g（x），由此入手，能夠求出一個“類對稱點”的橫坐標．

解：（1）由可知，函數的定義域為，

且.

因為，所以.

當或時， ；當時， ，

所以的單調遞增區間為.

（2）當時， .

所以，當變化時，， 的變化情況如下：

	（0,1）	1	（1,2）	2	（2，
	+	0	—	0	+
	單調遞增	取極大值	單調遞減	取極小值	單調遞增

所以，

.

函數的圖象大致如下：

所以若函數有三個不同的零點， .

（3）由題意,當時， ，則在點P處切線的斜率；所以

.

令，

則， .

當時， 在上單調遞減，所以當時， 從而有時，；

當時， 在上單調遞減，所以當時， 從而有時， ；所以在上不存在“類對稱點”.

當時， ，所以在上是增函數，故

所以是一個類對稱點的橫坐標.