Question

【題目】如圖甲所示，質量同為m、電量同為的一簇帶電粒子，從點以相同速率在xOy平面內向右上方各方向射出，即角在0到范圍內，試在xOy平面內設計一個電場區域，使這些帶電粒子全部都會聚于點．，在y軸的兩側，與原點O的距離同為R．設帶電粒子的相互作用可略。

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

為使粒子能會聚到，外加電場對粒子的作用力應能使不同粒子經不同的彎曲軌道到達同一點，于是聯想到重力場對斜拋物體的作用，可以達到類似目的．由此，首先想到設計的外電場是與重力場類似的勻強電場。

注意到，以相同速率、不同拋射角拋出的物體，其水平（x軸方向）射程是不同的，不能都落到同一點上，這是重力場無處不在的結果．為使帶電粒子都能通過點，需要為不同的拋射角調整出不同的水平射程，也就是說，先讓粒子在無電場區域內沿直線運動，使水平射程從2R減小到與該角對應的水平射程大小相同時，再讓該粒子進入到勻強場區，入射點便為勻強場區的邊界點．總之，可以嘗試著設計一個有邊界的勻強靜電場區，看是否能讓帶電粒會聚到P點．

設計的場區如圖乙所示，場強方向與y軸反向，大小取為E．帶電粒子在場區內得到與y軸反向的加速度，大小為

，

在場區內帶電粒子沿拋物線軌道運動。取場區右側邊界點，其中x對應經過該邊界點的帶電粒子斜拋軌道的半水平射程．將此段路程所經時間記為t，則有

，．

聯立，消去t，得

．

與幾何關系

，

聯立，得

，

這就是場區的右邊界．由對稱性，以代替方程式中的x，即得場區的左半邊界方程為

，