Question

【題目】如圖甲所示，兩個帶正電Q的點電荷，固定放在x軸上的A、B兩點處，AB中點為坐標原點，．在原點O放置另一質量為m、電荷為q的點電荷．

（1）當限制q只能在哪些方向上運動時（可以理解成有軌道加以約束），它在O處才是穩定的？

（2）討論在這些方向上受擾動之后g的運動情況．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

假定q是正電荷，限制它在S軸上運動，假定它受到約束不能離開S軸運動，就無需考慮它在垂直于S軸方向上的受力。設它受擾動偏離O點發生微小位移（圖乙中的），并設S軸與x軸正向夾角為．題中提到的“哪些方向”，就是指的取值范圍能令q的平衡是穩定的．

q在P點受兩個庫侖斥力與作用，沿S軸的合力為

①

運用余弦定理，把、、、都力求用x和表示：

，

，

又因為，

得．

由，得

．

代入①式再整理，注意到項可以略去，得

②

根據②式，當時（圖丙中打斜線的錐體區域內），為負，即合力方向與x相反，總指向原點，這是回復力的基本特性，q的平衡是穩定的．反之在的區域（圖丙中未打上斜線的區域），為正，即合力方向與x方向相同，總背離原點，g的平衡是不穩定的．在平衡穩定的范圍內，把②式改寫為

③．

③式中的，可見q做簡諧振動，其固有周期跟角的具體取值有關，由下式決定：

討論：如果q是負電荷，根據相同的推理過程可知，結論剛好與上述相反。在的區域，平衡不穩定；在的區域，平衡穩定，負電荷做簡諧振動，其固有周期為